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Referate und Hausarbeiten : Mathematik

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Der Kreis - Formeln und arbeiten mit Formeln


Herleitung des Kreisinhaltes und Kreisumfangs
Arbeiten mit dieser Formel

1. Keisfläche und Kreisinhalt
Die Kreisfläche kann mit einer einfachen Formel berechnet werden: A= pi * r²
Es war eine historische Leistung, die Kreiszahl pi "genau zu bestimmen. Dem Schüler sollte im Unterricht wenigstens eine Methode vermittelt werden, wie man sie erreichen kann.
Methode: Annäherung der Kreisfäche von innen und außen durch Rechtecke.
Der Einfachheit halber verwendet man nur einen Viertelkreis. Seinen Radius teilt man in n gleich große Teile auf und kann in den Kreis (n-1) Rechtecke einzeichnen, und kann n Rechtecke über den Kreis legen, dass er ganz abgedeckt wird. Diese Methode soll auf drei Arten vorgeführt werden.
1. Beispiel: n=4
An diesem 1. Beispiel kann man erkennen, wie man den Viertelkreis mir 4 Rechtecken, die bis zum Kreis reichen, ausfüllen kann. Das 4. Rechteck ist allerdings zur Strecke entarntet, es hat nämlich die Höhe 0! .
Das 2. Beispiel zeigt, dass man so den Viertelkreis mit vier Rechtecken überdecken kann. Dabei sollte man erkennen, dass die drei inneren Rechtecke mit drei der vier aüßeren Rechtecke übereinstimmen.
Bei einer Zerlegung des Radius in 4 Teilen erhält jedes Rechteck die Breite b= r/4
Die Fläche der drei inneren Rechtecke heißen Untersumme U.vier.
Die Höhen der Rechtecke berechnet man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras.
Untersumme und Obersumme:
Eine Viertelkreisfläche (B.s.) liegt zwischen der Ober- und Untersumme:
0,6239*r² < A.vk < 0,8739
Man multipliziert diese Ungleichung mit 4 und erhält eine erste Abschätzung für die Kreisfläche:
2,4956*r² < A.kr < 3,4956*r²
den genauen Zahlenfaktor für r² nennt man die Zahl Pi.
Für die Kreisfläche gilt somit
A.kr = Pi*r²
und wir wissen jetzt über Pi:
2,4956< Pi < 3,4956.
Der Unterschied zwischen Obersumme und Untersumme ist also gerade Ao .
Diese Fläche hat den Inhalt Ao= r/n*r= r²/n
Für r= 10 ist beispielsweise Ao =...

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