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Referate und Hausarbeiten : Mathematik

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Der goldene Schnitt in der Geometrie


Der Goldene Schnitt in der Geometrie


Auch in der Geometrie wird das mit der Hilfe des Goldenen Schnittes entdeckte Teilverhältnis für vielerlei Konstruktionen benötigt.
Ich werde hier einige Beispiele für seinen Gebrauch in der Geometrie anführen.

1. Beispiel: Stetige Teilung

Von Euklid wird die stetige Teilung als Aufgabe formuliert:
Teile eine gegebene Strecke so, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist.

Als Lösung gibt er folgende Konstruktion an:
 zeichne ein rechtwinkliges Dreieck CQP mit den Katheten s und
 zeichne einen Kreis mit dem Radius um C, welcher die Gerade durch die Punkte P und C in D schneidet
 zeichne einen Kreis mit dem Radius um P, welcher in T schneidet
 Als Lösung ergibt sich der Abschnitt PT


Abb. 1
Beweis:
Zuerst berechne ich (Hypothenuse des Dreiecks CQP).
Nach Pythagoras gilt: 1. Kathete ² + 2. Kathete ² = Hypothenuse ²
² = ( )² + s²
= s²
= ½ s

Danach berechne ich die gesuchte Größe x = :
= = -
Aus der Zeichnung sieht man, dass =
Also setze ich in diese Gleichung ein
= ½ s – ½ s
= ½ s – ½ s
= ½ s ( – 1)
Also
x/s = ½ ( – 1)


2. Beispiel: Konstruktion eines regelmäßigen Zehnecks

Abb. 2

 Bei einem regelmäßigen Zehneck beträgt der Mittelpunktswinkel 36°
Grund: Kreis hat 360°, 360° / 10 = 36°
 Das Dreieck ABM (eines der Teildreiecke des Zehnecks) ist also ein gleichschenkliges Dreieck mit Schenkellänge r, Grundseite x und Basiswinkel 72°
Grund: Winkelsumme im Dreieck ist 180°, (180° – 36°) / 2 = 72°
 Die Strecke ist die Winkelhalbierende des Basiswinkels bei A, daraus folgt dass die beiden entstandenen Winkel 36° sind.
 Das Dreieck ABC ist gleichschenklig, da der Winkel bei C auch 72° ist (180° - 36° - 72°)
 Das Dr...

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