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Inhaltsangabe - Referat

GRUNDLAGEN DER MATHEMATIK


Dieses Referat wurde vom Mitglied BrunoBanani veröffenlicht. Pausenhof.de ist für die Inhalte der Veröffentlichungen der Mitglieder nicht verantwortlich.




Grundlagen der
Mathematik
Spezialgebiet in Mathematik



Inhaltsangabe

1. Die axiomatische Methode Seite 2
1.1. Was ist die Axiomatisierung?
1.2. Isomorphie
1.3. Überprüfung von Axiomensystemen

2. Die Entwicklung von nichteuklidischen Geometrien Seite 4
2.1. Das Parallelenaxiom
2.2. Die nichteuklidischen Geometrien

3. Historische Entwicklung der Philosophie der Mathematik Seite 7

4. Das Sichern der Grundlagen Seite 8
4.1. Der Formalismus
4.2. Der Platonismus
4.3. Der Konstruktivismus oder Intuitionismus
4.4. Der Logizismus
Anhang: Literaturverzeichnis Seite11
1. Die axiomatische Methode
1.1. Was ist die Axiomatisierung?
Ein Axiomensystem ist die Grundlage aller mathematischer Systeme. Um ein solches System zu schaffen muß man alle Grundtatsachen und Definitionen finden, aus denen sich alle anderen Sätze des betreffenden Fachgebiets bzw. der betreffenden Wissenschaft sammeln. Ist dies gelungen, so nennt man das Axiomensystem definit.
Damit ein solches System überzeugen kann müssen alle Bezeichnungen, die man verwendet definiert sein und es muß alles bewiesen werden, indem man geistig, die de-finierten Ausdrücke durch ihre Definitionen ersetzt.
Ein Axiomensystem kann niemals die komplette Wahrheit über ein Sachgebiet wie-dergeben, sondern ist immer als ein Modell zu verstehen, selbst wenn uns die Naturwis-senschaften glauben machen, wollen, daß sie die Wahrheit über ihr Gebiet wiedergeben. Sobald neue Erkenntnisse gewonnen werden, können die überholten Begriffe jedoch sofort durch neue, exaktere ersetzt werden.
Ein Beispiel aus der Mathematik ist die Entwicklung der Geometrie, die in Kapitel 2 näher besprochen wird. Lange Zeit galt nur die euklidische Geometrie. Als die Mög-lichkeit von anderen Geometrien gezeigt wurde, wurde die euklidische Geometrie durch die nichteuklidische ersetzt, welche die euklidische immer noch berücksichtigte. Au-ßermathematische Systeme lösen einander viel häufiger ab. Zum Beispiel ersetzte die Einstein?sche Relativität die Newton?sche Mechanik .

1.2. Isomorphie
Ein Grundbegriff der Axiomatik ist die Isomorphie. Gegeben seien zwei Axiomen-systeme 1 und 2. In 1 herrschen nun die Relationen R1, R2, usw. Die Beziehungen zwischen den Objekten in 2 werden nun, obwohl sie sich im Sinn unterscheiden, mit den selben Namen versehen, wodurch sie einander zugeordnet werden. Findet sich zu jedem Begriff des einen Systems ein Gegenstück im anderen, so sind die beiden Systeme isomorph. Man spricht von einer isomorphen Abbildung von 1 auf 2.
Isomorphe Gebiete müssen einander in irgendeiner Form ähneln. Alles, was in einem System gilt, muß notwendigerweise in allen isomorphen Gebieten gelten. Das ist ein immenser Vorteil für die Wissenschaft. Ein Axiomensystem kann aufgrund der Iso-morphie mit beliebig vielen Interpretationen versehen werden.
Ein auffallendes Beispiel ist die Isomorphie zwischen der euklidischen Geometrie und der linearen Algebra. Offensichtlich entspricht einem Punkt in der Geometrie ein n-Tupel in der Algebra. Ein weiterer Bezug läßt sich zur Physik herstellen. Für ein Stromnetz mit n Drähten, die sich in einem Knotenpunkt verzweigen, gelten die gleichen Beziehungen, wie in einem euklidischen Raum mit n Dimensionen. Wenn man zum Beispiel die in die Drähte eingeführten Spannungen kennt, und daraus die Stromvertei-lung ermitteln soll, dann ist dieses Problem äquivalent zur Projektion eines Punktes auf eine Ebene.
Was man sich nicht von der Isomorphie erwarten darf, ist, daß man durch sie zu neu-en Erkenntnissen gelangt. Da die zugrundeliegenden Axiome immer die selben bleiben, ist das ausgeschlossen. Allerhöchstens eröffnen sich dem Mathematiker in einem iso-morphen Gebiet neue Denkansätze, die er in einem anderen übersehen hat.

1.3. Überprüfung von Axiomensystemen
Welche Kriterien muß ein System nun aber erfüllen, damit es anerkannt werden kann? Der wichtigste Anspruch an ein System ist die Forderung nach der Widerspruchs-freiheit. Wenn ein Mathematiker eine neues System Σ ausarbeitet, muß er sicherstellen, daß es dieses geben kann. Aus seinem System Σ darf er niemals die Aussagen α und ά herleiten können. Ansonsten ist das System völlig wertlos. Deshalb ist die Überprüfung eines jeden mathematischen Systems, ja einer jeden wissenschaftlichen Theorie, auf Wi-derspruchslosigkeit eine wichtige Aufgabe.
Des weiteren sollten die Axiome eines Axiomensystems unabhängig voneinander sein. Es soll keine Sätze enthalten, die aus den anderen Axiomen folgen. Das Axiom α ist genau dann unabhängig, wenn es sich nicht aus den übrigen herleiten läßt. Um die Unabhängigkeit einer Aussage festzustellen, gibt es drei Möglichkeiten. Da die Unab-hängigkeit eng mit der Widerspruchslosigkeit zusammenhängt, kann man mit diesen Methoden auch diesen Nachweis führen.

(1) Die erste Methode ist meis...


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