Schule & Uni  Schule & Uni
menu Registrieren menu Mitglieder Login menu Profil menu Referate menu Facharbeiten menu Seminararbeiten menu Rund um die Schule menu Rund ums Studium menu Schulforen
 Statistik
Mitglieder401.324
Männer197.694
Frauen196.799
Referate12.458
Forenbeiträge3.080.831
 Neue Mitglieder
  • Profilbild von abrabrabrabra

    Maennlich abrabrabrabra
    Alter: 60 Jahre
    Profil

  • Profilbild von Jamesnuafe

    Maennlich Jamesnuafe
    Alter: 26 Jahre
    Profil

  • Profilbild von meike3009

    Weiblich meike3009
    Alter: 17 Jahre
    Profil

  • Profilbild von OksanaMMM

    Maennlich OksanaMMM
    Alter: 31 Jahre
    Profil

  • Profilbild von Team123

    Maennlich Team123
    Alter: 23 Jahre
    Profil

  • Profilbild von Maikeik

    Maennlich Maikeik
    Alter: 22 Jahre
    Profil

  • Profilbild von Bluhmi

    Weiblich Bluhmi
    Alter: 23 Jahre
    Profil

  • Profilbild von sadiq1369

    Maennlich sadiq1369
    Alter: 26 Jahre
    Profil

  • Profilbild von sakura00

    Weiblich sakura00
    Alter: 17 Jahre
    Profil

  • Profilbild von akifcaliskann

    Maennlich akifcaliskann
    Alter: 17 Jahre
    Profil

     

Inhaltsangabe - Referat

FIBONACCI FOLGE


Dieses Referat wurde vom Mitglied ilintner veröffenlicht. Pausenhof.de ist für die Inhalte der Veröffentlichungen der Mitglieder nicht verantwortlich.


Die Fibonacci-Folge
Der italienische Mathematiker Fibonacci (eigentlich Leonardo von Pisa, 1170 - 1250) stellt in seinem Buch "Liber Abaci" folgende Aufgabe:
Ein Mann hält ein Kaninchenpaar an einem Ort, der gänzlich von einer Mauer umgeben ist. Wir wollen nun wissen, wie viele Paare von ihnen in einem Jahr gezüchtet werden können, wenn die Natur es so eingerichtet hat, dass diese Kaninchen jeden Monat ein weiteres Paar zur Welt bringen und damit im zweiten Monat nach ihrer Geburt beginnen.
Wenn man versucht, die Frage zu beantworten, kommt man auf folgende Zahlenfolge:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Jede Zahl dieser Folge entsteht, indem man die beiden vorhergehenden Zahlen addiert. Im 12. Monat kommen also 144 Paare zur Welt, und insgesamt hat der Mann dann 377 Kaninchenpaare.
Bezeichnet man die n-te Zahl der Folge mit an, so kann man definieren:
an+1 = an + an-1
(Eine solche Vorschrift nennt man "rekursiv". Sie gibt an, wie man jede Zahl der Folge aus den vorhergehenden Zahlen berechnet.)
So unregelmäßig die Fibonacci-Folge auf den ersten Blick aussieht ? es gibt in ihr eine Fülle interessanter Eigenschaften zu entdecken, zum Beispiel:
Das Quadrat jeder Zahl (ab der zweiten) ist um 1 kleiner oder größer als das Produkt der vorhergehenden und der nachfolgenden Zahl:
1² = 1× 2-1, 2² = 1× 3+1, 3² = 2× 5-1, 5² = 3× 8+1 ...
Die Summe der ersten n Zahlen ist um 1 kleiner als die (n+2)-te Zahl:
1 = 2-1, 1+1 = 3-1, 1+1+2 = 5-1, 1+1+2+3 = 8-1 ...
Die Summe der Quadrate der ersten n Zahlen ist gleich dem Produkt aus der n-ten und der (n+1)-ten Zahl:
1² = 1× 1, 1²+1² = 1× 2, 1²+1²+2² = 2× 3, 1²+1²+2²+3² = 3× 5 ...
Und eine der wichtigsten Eigenschaften: Berechnet man jeweils den Quotienten zweier aufeinander folgender Zahlen:
1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5 ...
so erhält man immer bessere Näherungswerte für die Zahl j , den "Goldenen Schnitt".
Die rekursive Berechnung der Fibonacci-Zahlen ist ziemlich umständlich ? will man z.B. die 100. Zahl berechnen, so muss man zuerst die ersten 99 Zahlen ermitteln. Mithilfe der "Formel von Binet" kann man an direkt aus n berechnen :

Überraschenderweise tauchen die Fibonacci-Zahlen auch in der Natur auf: Die Blätter oder Früchte von Pflanzen bilden oft Spiralmuster. Die Anzahl der Spiralen sind meist Fibonacci-Zahlen ? ein Föhrenzapfen hat z.B. in der einen Richtung 8, in der anderen 13 Spiralen; bei der abgebildeten Sonnenblume beträgt die Anzahl 21 bzw. 34.







Leonardo von Pisa alias Fibonacci
 
Leonardo wurde 1170 in Pisa geboren. Wenig ist über Leonardo's Leben bekannt. Die Schaffung eines auf dem Positionssystem beruhenden dezimalen Stellenwertsystems ist eine der bedeutendsten kulturellen Leistungen der indischen Völker. Das indische System ist in Bagdad im 8.Jahrhundert bekannt. Die Araber greifen dieses indische System auf und dadurch, dass der größte Teil Spaniens von den Arabern beherrscht wird, gelangen die indischen Ideen auch nach Europa und wurden auch den lateinischen Gelehrten bekannt. Den entscheidenden Durchbruch der 'indischen Rechenweise' geschieht durch das Buch 'Liber abbaci' (1202) von Leonardo von Pisa. Als Sohn eines italienischen Diplomaten in Nordafrika lernte er die arabische Wissenschaft bald kennen und er verwendet konsequent die indisch-arabischen Ziffern und zeigt damit auch die Vorteile des dekadischen Stellenwertsystems auf. In immer schnellerem Tempo beginnen jetzt die indischen Rechenverfahren in das Rechnungswesen der Kaufleute und damit der Schulstuben einzudringen. Die 'Practica geometriae' (1220) verbreitete die arabischen Ziffern und die indischen Rechenverfahren in Europa. Die Annäherung an pi wurden mit 864/275 (=3.14182) und mit 1440/458.33 (=3.14182) angegeben. Die in diesen Büchern behandelten zahlentheoretischen Probleme und die angegebenen Lösungsverfahren gingen erstmals über die Kenntnisse der arabischen (und auch des griechischen) Kulturkreises hinaus. Auch dürfte Leonardo von Pisa, wenn auch sehr vorsichtig, negative Zahlen - als Schulden veranschaulicht haben. Bereits 1202 entstand auch die Fibonacci-Zahlenfolge für die er noch heute bekannt ist. 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, ....... oder allgemein xn+2 = xn+1 + xn

 
 ...


This picture loads on non-supporting browsers.






This picture loads on non-supporting browsers.