Schule & Uni  Schule & Uni
menu Registrieren menu Mitglieder Login menu Profil menu Referate menu Facharbeiten menu Seminararbeiten menu Rund um die Schule menu Rund ums Studium menu Schulforen
 Statistik
Mitglieder401.324
Neue User0
Männer197.693
Frauen196.800
Referate12.458
Forenbeiträge3.080.796
 Neue Mitglieder
  • Profilbild von Jamesnuafe

    Maennlich Jamesnuafe
    Alter: 26 Jahre
    Profil

  • Profilbild von meike3009

    Weiblich meike3009
    Alter: 17 Jahre
    Profil

  • Profilbild von OksanaMMM

    Maennlich OksanaMMM
    Alter: 31 Jahre
    Profil

  • Profilbild von Team123

    Maennlich Team123
    Alter: 23 Jahre
    Profil

  • Profilbild von Maikeik

    Maennlich Maikeik
    Alter: 22 Jahre
    Profil

  • Profilbild von Bluhmi

    Weiblich Bluhmi
    Alter: 23 Jahre
    Profil

  • Profilbild von sadiq1369

    Maennlich sadiq1369
    Alter: 26 Jahre
    Profil

  • Profilbild von sakura00

    Weiblich sakura00
    Alter: 17 Jahre
    Profil

  • Profilbild von akifcaliskann

    Maennlich akifcaliskann
    Alter: 17 Jahre
    Profil

  • Profilbild von masterchief1117

    Maennlich masterchief1117
    Alter: 17 Jahre
    Profil

     

Inhaltsangabe - Referat

DER SINUSSATZ


Dieses Referat wurde vom Mitglied abil veröffenlicht. Pausenhof.de ist für die Inhalte der Veröffentlichungen der Mitglieder nicht verantwortlich.



Der Sinussatz / Sinus

Der Sinussatz und der Kosinussatz sind zwei Erweiterungen der trigonometrischen Funktionen, die an sich ja nur in rechtwinkligen Dreiecken definiert sind, auf beliebige Dreiecke.
Der "Trick" dabei ist in beiden Fällen, das Dreieck durch eine Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke zu "teilen".
(Die Höhe steht senkrecht auf der Seite.)
sinus
In beiden Teildreiecken läßt sich nun die Definition des Sinus anwenden: sinus
Übertragen auf die beiden Teildreiecke: sinus
Jeweils nach hc aufgelöst: sinus
Da bei beiden Gleichungen rechts dasselbe, nämlich hc, steht, sind auch beide linken Seiten der Gleichungen gleich: sinus
Wenn man durch a und b teilt, entsteht eine Verhältnisgleichung mit einander entsprechenden Größen in jedem Bruch: sinus

Entsprechend funktioniert es bei Teilung des Dreiecks durch die anderen Höhen, wobei sich stets ergibt, daß sich die Verhältnisse zwischen Sinuswerten der Winkel und den gegenüberliegenden Seiten jeweils paarweise gleichen.
Insgesamt gilt daher der Sinussatz:
sinus


Stillschweigend wurde bis jetzt vorausgesetzt, daß die Höhen innerhalb des Dreieck liegen.
Was ist, wenn eine Höhe außerhalb liegt, wie bei diesem Dreieck?
sinus

Nun wird das Dreieck nicht mehr in zwei rechtwinklige Teildreiecke "geteilt".

Allerdings entstehen auch hier zwei rechtwinklige Dreiecke. Das linke hat - wie oben - die Gegenkathete hc und die Hypotenuse b, der Winkel ist nach wie vor a. Auch das rechte hat wieder die Hypotenuse a und die Gegenkathete hc. Der einzige Unterschied besteht darin, daß hier der relevante Winkel nicht b ist, sondern dessen Nebenwinkel b', wobei gilt: b' = 180° - b.

Glücklicherweise ist die Sinusfunktion symmetrisch, u.a. mit der Achse 90°.
Es gilt:
sin(180° - b) = sin(b)


und, weil 180° - b = b':

sin b' = sin b

Daraus folgt unmittelbar, daß der Sinussatz auch in Dreiecken gilt, bei denen eine Höhe außerhalb liegt, bei denen mithin ein Winkel größer als 90° ist.

Bei rechtwinkligen Dreiecken (z.B. b = 90°) ist der Sinussatz äquivalent zur Definition des Sinus, denn bei b = 90° ist sin b = 1. Außerdem ist a identisch mit hc. Somit gilt:
sinus sinussatz
...


This picture loads on non-supporting browsers.






This picture loads on non-supporting browsers.