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mathe sitzt im zug...

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Beitrag von janssenudo

05.12.2008 09:13:09

janssenudo

Profilbild von janssenudo ...

Der Vektor b ist linear abhängig von {a1,...,an}
<=>
b lässt sich als Linearkombination der Vektoren {a1,...,an} darstellen
b = r1 * a1 + r2 * a2 + ... + r(n-1) * a(n-1) + rn * an

Nun lösen wir diese Gleichung nach an auf:
an = (r1/rn) * a1 + (r2/rn) * a2 + .... + (r(n-1)/rn) * a(n-1) - b

Für rn <> 0 haben wir also eine Linearkombination gefunden, um an
als Linearkombination der Vektoren {a1,a2,...,a(n-1)} zu schreiben.
Somit ist an linear abhängig von {a1,...,a(n-1),b}.

Bleibt zu zeigen, dass rn tatsächlich immmer ungleich Null ist.
Das folgt aber direkt daraus, dass b nicht alleine durch eine
Linearkombination von {a1,...a(n-1)} darstellbar ist. Der Vektor
an wird also zwingend gebraucht um b darzustellen und somit ist
rn <> 0

q.e.d.

Achtung: a1,...,a(n-1) müssen nicht linear unabhängig sein !!!


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