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vollständige Induktion

(1250x gelesen)

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Beitrag von Bumaschka

22.11.2009 17:58:21

Bumaschka

Profilbild von Bumaschka ...

Stimmt ok, mein Fehler.

Gut, und was ist soll jetzt für ein n aus N gelten?

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Beitrag von klatschmir

22.11.2009 18:07:33

klatschmir

klatschmir hat kein Profilbild...

Themenstarter
klatschmir hat das Thema eröffnet...

naja jetzt muss man eben zeigen, dass das auch für n=n+1 gilt halt n+1 für n einsetzen:

8*(n+1)^5+4*(n+1)

gut und jetzt muss ich das ausmultiplizieren:
wie geht das nochmal mit (n+1)^5 mit dem Pascalschen Dreieck

tja erst nachdenken dann schreiben

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Beitrag von klatschmir

22.11.2009 18:19:18

klatschmir

klatschmir hat kein Profilbild...

Themenstarter
klatschmir hat das Thema eröffnet...

also ich komm dann auf:
8*n^5+8n^4+8n^3+8n^2+16n+12 stimmt das?

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Beitrag von Schnider

23.11.2009 13:21:16

Schnider

Schnider hat kein Profilbild...

normal sagt man wenn es für 1 net gilt dann geht es auch nicht für n+1


manchmal muss man jedoch es mal mit 2 oder 3 probieren und dann den Definitionsbereich einschränken ! musste mal probieren

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Beitrag von janssenudo

24.11.2009 09:00:52

janssenudo

Profilbild von janssenudo ...

Ich möchte die Vollständige Induktion exemplarisch an
der zweiten Aufgabe durchführen. Alle induktiven
Teilbarkeitsbeweise lassen sich auf ähnliche Weise zeigen.
Doch zunächst vereinfache ich den Term 3^(2n)+7,
denn es gilt:

3^(2n) = (3^2)^n = 9^n


Es ist also zu zeigen, dass 9^n+7 durch 8 (ohne Rest)
geteilt werden kann. Ander ausgedrückt: 9^n+7 lässt
sich als Produkt von 8 und einem anderen Faktor, ich
nenne ihn F(n), darstellen. D.h.

9^n+7 = 8 * F(n) für n = 1, 2, 3, 4 ...


Wenn man die ersten Glieder dieser Gleichungen bestimmt,
erkennt man ein Bildungsgesetzt für F(n). Es lautet:

F(1) = 2 und
F(n) = F(n-1) + 9^(n-1) bzw.
F(n+1) = F(n) + 9^n


Nach diesen Vorüberlegungen beweise ich nun mit Hilfe
der vollständigen Induktion das gefundene Bildungsgesetzt
und somit auch die gewünschte Teilbarkeit. Zu zeigen:

9^n+7 = 8 * F(n)
für n = 1, 2, 3, 4 mit F(n) wie oben.


Induktionsverankerung: (n=1)
9^1+7 = 8 * F(1)
<=> 9+7 = 8*2
<=> 16 = 16 (OK)

Induktionsannahme:
Es gelte:
9^n+7 = 8 * F(n)
<=> F(n) = (9^n+7) / 8

Induktionsschritt: (n-> n+1))
Vorausgesetzt die Induktionsannahme git,
ist zu zeigen:
9^(n+1)+7 = 8 * F(n+1)
<=> 9^n*9+7 = 8 * (F(n) + 9^n)
<=> 9*9^n+7 = 8 * (((9^n+7) / 8) + 9^n)
<=> 9*9^n+7 = 9^n+7+8*9^n
<=> 9*9^n = 9^n+8*9^n
<=> 9*9^n = (1+8)*9^n q.e.d.

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