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Schnelle Hilfe

(296x gelesen)

Seiten: 1

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Beitrag von Sophia-ra...

02.04.2008 17:05:32

Sophia-ra...

Profilbild von Sophia-racing ...

Themenstarter
Sophia-racing hat das Thema eröffnet...

Hi Leute brauche ganz dringen eure Hilfe.
Folgende Aufgabe:

252*2x/(x^2+63)^2=0,2

brauch also das x davon.
Bitte helft mir ganz schnell.
Danke schon im voraus.
Liebe Grüße Phia

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Beitrag von DundGAlDa

02.04.2008 17:12:29

DundGAlDa

Profilbild von DundGAlDa ...


0,2x(x²+63)²
x=-----------
252x2

oder so

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Beitrag von Sophia-ra...

02.04.2008 17:16:42

Sophia-ra...

Profilbild von Sophia-racing ...

Themenstarter
Sophia-racing hat das Thema eröffnet...

nein 0,2 muss rauskommen. und das was hinter dem istgleich steht ist ein bruch. oben steht 252*2x und unten (x^2+63)^2

so ist das alles gemeint und von dieses gleichung soll das x berechnet werden.

d.h. nochmal die ganze gleiung 0,2=252*2x/(x^2+63)^2

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Beitrag von janssenudo

03.04.2008 09:01:44

janssenudo

Profilbild von janssenudo ...

( 252*2x ) / ( x² + 63 )² = 1/5
<=> ( 5*225*2x ) = ( x² + 63 )²
<=> 2520x = x^4 + 126x² + 3969
<=> x^4 + 126x² - 2520x + 3969 = 0

Besitzt 2 reele Lösungen:

x = 9,633911351852658
3
x = 1,727801391101297
4



Lösen der biquadratischen Gleichung
x^4 + 126x² - 2520x + 3969 = 0
————————————————————————————————————————————————————————

Die Gleichung liegt bereits in der Normalform
x^4 + ax³ + bx² + cx + d = 0 vor.

Diese Gleichung hat die Form
x^4 + px² + qy + r = 0,
sie weist kein kubisches Glied mehr auf.

Diese Gleichung kann über ihre kubische Resolvente
z³ - 2pz² + (p²-4r)z + q² = 0
gelöst werden.

z³ - 252z² + 6350400 = 0

Man benötigt also zunächst die Lösungen dieser Gleichung.

————————————————————————————————————————————————————————


Lösen der kubischen Gleichung x³ - 252x² + 6350400 = 0
—————————————————————————————————————————————————————————

Die kubische Gleichung liegt bereits in der Normalform
x³ + rx² + sx + t = 0 vor.

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung
in eine reduzierte Form
y³ + py + q = 0
gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.

(y + 84)³ - 252(y + 84)² + 6350400 = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer
auch direkt berechnet werden:

p = s - r²/3 = -21168
q = 2r³/27 - rs/3 + t = 5164992

y³ - 21168y + 5164992 = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

p = -21168 q = 5164992

Nun muß der Wert
R = (q/2)²+(p/3)³
betrachtet werden.

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung
eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen,
von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die
Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis",
löst man mithilfe trigonometrischer Funktionen.

Im Falle dieser Gleichung ist R = 6317987558400.

Da R nicht negativ ist, kann die Gleichung mit der
Cardanischen Formel gelöst werden:


T = sqr((q/2)²+(p/3)³ = sqr(R) = 2513560,732984186

u = kubikwurzel(-q/2 + T) = -41,00282887794516

v = kubikwurzel(-q/2 - T) = -172,08568757545711

y = u + v = -213,0885164534023
1
y = -(u + v)/2 - ((u - v)/2)*sqr(3)·î
2 = 106,54425822670114 - 113,52108563273128·î

y = -(u + v)/2 + ((u - v)/2)*sqr(3)·î
3 = 106,54425822670114 + 113,52108563273128·î


Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion
von r/3 rückgängig gemacht.
r=-252 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung.
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

x = -129,0885164534023
1
x = 190,54425822670115 - 113,52108563273137·î
2
x = 190,54425822670115 + 113,52108563273137·î
3

——————————————————————————————————————————————————————————

Zurück zur Lösung der biquadratischen Gleichung.

Das Lösungsverfahren für kubische Gleichungen
ergab also für das z der kubischen Resolvente:

z = -129,0885164534023
1
z = 190,54425822670115 - 113,52108563273137·î
2
z = 190,54425822670115 + 113,52108563273137·î
3

Nach dem Satz von Vieta muß das Produkt der drei Lösungen
gleich dem linearen Glied der Gleichung sein,
hier also q² = 6350400.
Die Lösungen für y ergeben sich nun folgendermaßen:

y = ( sqr(-z ) + sqr(-z ) + sqr(-z ) ) / 2
1 1 2 3
y = ( sqr(-z ) - sqr(-z ) - sqr(-z ) ) / 2
2 1 2 3
y = (-sqr(-z ) + sqr(-z ) - sqr(-z ) ) / 2
3 1 2 3
y = (-sqr(-z ) - sqr(-z ) + sqr(-z ) ) / 2
4 1 2 3

wobei jedoch die Wahl der Vorzeichen der Wurzeln
so getroffen werden muß, daß deren
Produkt gleich -q = 2520 ist.

Die Wurzeln

sqr(129,0885164534023) = -11,361712742953955
sqr(-190,54425822670115 + 113,52108563273137·î
= 3,9530549803756813 + 14,358652510057275·î
sqr(-190,54425822670115 - 113,52108563273137·î
= -3,9530549803756813 + 14,358652510057275·î

erfüllen diese Bedingung.

Damit ergeben sich folgende Werte für y

y = -5,680856371476978 + 14,358652510057277·î
1
y = -5,680856371476978 - 14,358652510057277·î
2
y = 9,633911351852658
3
y = 1,727801391101297
4

und nach Subtraktion von a/4 ( = 0 ) die Lösungen der gegebenen
biquadratischen Gleichung:

x = -5,680856371476978 + 14,358652510057277·î
1
x = -5,680856371476978 - 14,358652510057277·î
2
x = 9,633911351852658
3
x = 1,727801391101297
4

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