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Thema:

Rotationskörper

(435x gelesen)

Seiten: 1 2

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Beitrag von ^Lyn^

07.12.2005 17:27:31

^Lyn^

^Lyn^ hat kein Profilbild...

Autsch x_X Ich hab ja jetz schon nur meine 8 Punkte im Zeugnis. Wie soll das enden...?

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Beitrag von sunnygirl...

07.12.2005 17:28:34

sunnygirl...

sunnygirl_nina hat kein Profilbild...

kann nur besser werden lyn

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Beitrag von ^Lyn^

07.12.2005 17:32:30

^Lyn^

^Lyn^ hat kein Profilbild...

Jaja, das sagst du ;D Ich werde von so Kleinigkeiten immer voll aus der Bahn geworfen ;D Erste Arbeit 4 Punkte, Mündlich 9..+hust+

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Beitrag von kleine_Vreni

07.12.2005 17:36:42

kleine_Vreni

Profilbild von kleine_Vreni ...

die formel steht doch im tafelwerk... damit lässt sich das doch ganz leicht ausrechnen...

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Beitrag von ice_cube

07.12.2005 18:18:28

ice_cube

Profilbild von ice_cube ...

Hi, denk ich kann dir bisschen weiterhelfen...naja zumindest versuch ichs mal *g*

Beispiel:

Du hast die Funktion

f(x) = x^6 -3x³ -2x und willst das Volumen berechnen, dann
musst du in folgende Formel einsetzen:

V= Pi * Integral (in den Grenzen von a bis b) [ y²] dx
bzw. V= Pi * Integral (in den Grenzen von a bis b) [ f² x)] dx

Die Grenzen a und b sind entweder vorgegeben oder du musst sie ausrechnen!

Berechnung der Grenzen:

Die Nullstellen sind die Schnittpunkte der Kurve mit der x-Achse.
Also: f(x)=0 setzen!

=> x^6 - 3x³ - 2x = 0
=> x * (x^5 - 3x³ -2) = 0

=> x1 = 0 oder x^5 -3x³ - 2 = 0

=> Ergebnis ist dann N1(0/0) N2(1/0)

Wenn du nun eine Rotation um die x-Achse machen willst, dann sind die Grenzen also 0 bis 1 (siehe Nullstellen)

-------

Formel nochmal: V = pi * Integral(x1 bis x2) von y² dx

also zuerst f² x) ausrechnen! (wichtig dass du zuerst quadrierst)
=[x^6 - 3x³ - 2x]² = ...

und das setzt du dann in die Volumsformel ein:

V = pi * Integral von (0 bis 1) vom (ausgerechneten) dx

das integrierst dann, setzt die Grenzen ein und hast dein Volumen!

-----------------------------------------------------------------------

Bei der Rotation um die y-Achse ist die Formel so:

V = pi * Int (von y1 bis y2) von x² dy

Da musst dann deine Funktion nach x umformen, dann quadrieren und dann einsetzen!

Hoffe ich konnt dir weiterhelfen

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Beitrag von acs_phoenix

08.12.2005 12:21:23

acs_phoenix

Profilbild von acs_phoenix ...

Also, da leider dein Lehrer wieder mal die Essenz von dem Ganzen Bereich wohl verabsäumt hat dir zu erklären, versuch ichs mal anschaulich zu formulieren.

Stell dir als Beispiel ein Quadrat mit beliebiger Seitenlänge a vor. Ich kann das Quadrat als Funktion darstellen. f(x)=a in dem geschlossenen Intervall von 0->a. Du hast jetzt die Möglichkeit ganz einfach den Flächeninhalt zu berechnen mit a*a=a². Genauso kannst du aber auch a/2 als Berechnung heranziehen. das wären dann (a/2)²+(a/2)²+(a/2)²+(a/2)²=4*(a/2)²=a² oder a/4, dann wären es 16*(a/4)²=a². Sinn der Sache ist es, dass die Einzelfläche aus der du das Gesamtintegral aufbaust, aus sogenannten infinitesimalen (=unendlich kleinen) Stückchen zusammensetzt. Normale Integral sind nämlich nichts anderes als Riemann-Integrale. Das klingt kompliziert, ist es nicht, sondern einfach nur eine Bezeichnung. Du hast eine Summe von Flächenelementen (so wie ich die Summe ausgeschrieben habe beim Beispiel a/2). Mit dem Grenzübergang, dass diese Flächenelemente unendlich klein werden, wird aus der Summe das Integral. Du machst aber nichts anderes, als jedes noch so kleine Flächenelement miteinander zusammen zu zählen. Mit den Grenzen bestimmst du, von wo bis wo das geschieht.

Im Fall von Rotationskörpern musst du in zwei Richtungen integrieren (wobei in der Mittelschule die Formel eh oft ausgeschrieben dasteht). Eine Rotation erhältst du, wenn du über einen Winkel von 2pi integrierst, damit hättest du aber nichts erreicht, bis auf das, dass du dir den Mantel (wenn du die Bogenlänge hinzugibst) also die Oberfläche von dem Rotationskörper ausrechnen könntest. Du musst also noch die Funktion ebenso integrieren.

Es gibt dazu mehrere Möglichkeiten. Du kannst entweder nach x-integrieren (wie das ice cube empfohlen hat und wohl das klügere ist), oder du kannst nach y integrieren. Dabei bräuchtest du dann die ominöse Umkehrfunktion. Das Verfahren ist auch nur dann möglich, wenn die Umkehrfunktion eineindeutig auf dem Definitionsbereich ist, ansonsten musst du mehrere Teilintegrale (Iterierte Integrale) ausrechnen, was aber normalerweise nicht vorrausgesetzt werden dürfte.

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