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Beitrag von staufen

11.10.2005 15:39:57

staufen

Profilbild von staufen ...

Themenstarter
staufen hat das Thema eröffnet...

ich soll für ein tetraeda (Gleichseitige pyramiede)
über den pytagoans die formel fürs Volumen herreiten
ich komm aber nicht drauf! BITTE HILFE

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Beitrag von ZeusTheCr...

11.10.2005 21:59:15

ZeusTheCr...

Profilbild von ZeusTheCreator ...

sorry das ich so spät antworte.



du weisst erstmal, dass sich das volumen einer pyramide allgemein mit

V=1/3 * AG * h berechnet.

nun musst du AG berechnen, d.h. die Fläche deines gleichseitigen dreiecks.

Skizze I:

verdeutlicht AG (Grundfläche)

gesucht ist h(a), also über pythagoras nach h(a) umstellen.

h(a)² = a² - a²/4
h(a)² = 3a³/4

h(a) = Wurzel (3a³/4)
h(a) = a/2 * Wurzel (3)
-----------------------

AG=a/2 * h(a)

AG = a²/4 * Wurzel (3)
----------------------


Nun benötigst du die Gesamthöhe des Tetraeders (also h und nicht h(a)).

die grundüberlegung geht wieder über das gleichseitige dreieck (skizze II).
hier sind die höhen der seiten a eingetragen und mann sieht, das sich der mittelpunkt nich einfach mit h(a)/2 angeben lässt, sondern man muss sich n dreieck hineinlegen.

der schnittpunkt (grün) ist ansatz der höhe.

jetz zu II.2
das alles noch ma größer, gesucht ist X, damit du dir eine dreieck für die gesamthöhe (dreieck a|x|h [keine skizze]) zusammen basteln kannst.

über den sinussatz oder andere winkelbeziehungen kannste dir X berechnen.

X/sin 90° = (a/2)/sin 60°

X = a / 2*sin 60°

meines erachtens kommt jetz der schwerste schritt:
du musst jetz im tafelwerk(formelsammlung) nach Werte trigonometrischer Funktionen für spezielle Argumente suchen, dort ist angegeben, dass

sin 60° = Wurzel (3) / 2

da du 2*sin 60° hast kommt Wurzel (3) raus

->X = a / Wurzel (3)
--------------------

jetz kannste dein gesamthöhendreieck aufstellen.
ist ebenfalls rechtwinklig (siehe Skizze III: von links bis mitte - dick schwarz,grün,rot)

die höhe h wieder über pythagoras berechnen.

h² = a² - X²
h² = a² - a²/3
h² = 2a²/3

h = a* [Wurzel(2)/Wurzel(3)]
----------------------------

jetz setzte alles in die grundformel ein.

V=1/3 * AG * h

V = 1/3 * (a²*Wurzel[3]/4) * (a*Wurzel[2]/Wurzel[3])

kannste kürzen und zusammen fassen

V = a³ * Wurzel[2] /12
----------------------
----------------------

Gruß ZeusTheCreator alias Schulle

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