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Mathe e-Funktion

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Beitrag von tina-mausi14

03.12.2006 16:57:41

tina-mausi14

Profilbild von tina-mausi14 ...

Themenstarter
tina-mausi14 hat das Thema eröffnet...

Hallo

Also ich habe in Mathe eine Hausaufgabe auf,die irgendjemand dann vorrechnen muss. Ich würde mich auch freiwillig melden,da ich denke,dass meine Ergebnisse richtig sind. Ich würde mich freuen,wenn sie dennoch jemand überprüfen könnte...
Aber das ist für mich eher sekundär,da ich,wenn ich mich melde und die Aufgabe vorrechne,ja auch Erläuterungen geben muss,wie ich auf dieses oder jenes Ergebnis gekommen bin. Ich kann die Aufgabe zwar rechnen,bin mir bei verschiedenen Formulierungen jedoch unsicher. Von daher wäre es sehr nett,wenn mir jemand sagen könnte,ob ich das so sagen kann oder eben nicht.
Vielen Dank im Voraus!
Liebe Grüße!

Die Bevölkerung eines Landes nimmt jährlich um 2,3% zu. Die Bevölkerungsanzahl wächst also jährlich auf das 1,023-fache an. Zu Beginn des Beobachtungszeitraumes hat das Land 12 Millionen Einwohner.

a) Geben sie die Gleichung der Exponentialfunktion an, die das Bevölkerungswachstum beschreibt. Verwenden Sie als unabhängige Variable die Zeit t in Jahren.

b) Welche Einwohnerzahl wird das Land 5,10,20 Jahre nach Beginn der Beobachtung haben? Welche Einwohnerzahl hatte das Land 5,10,20 Jahre vor Beobachtungsbeginn?

c) Wann hatte das Land 10 Millionen Einwohner, wann wird es 40 Millionen haben?

d) In welcher Zeitspanne T verdoppelt sich die Einwohnerzahl (sog. Verdopplungszeit)?


a)

allgemein: f(x)=c*a^x

t=x,also f(t)
12 ist ja quasi der Grundwert und 1,023 die Faktor/die Basis (?),um den sich der Grundwert je nach angegebenem Jahr erhöht/vermindert. (Das hört sich etwas verwirrend an.)
Also:

f(t)=12*1,023^t

b)

Hier muss man einfach die gegebenen Jahreszahlen in die in a) angegebene Ausgangsgleichung für t einsetzen.

f(5)=12*1,023^5
f(5)=13,445 Mio.

f(10)=12*1,023^10
f(10)=15,064 Mio.

f(20)=12*1,023^20
f(20)=18,910 Mio.

f(-5)=12*1,023^-5
f(-5)=10,710 Mio.

f(-10)=12*1,023^-10
f(-10)=9,559 Mio.

f(-20)=12*1,023^-20
f(-20)=7,615 Mio.

c)

Hier setzt man 10 bzw. 40 als Y-Wert ein. (Das klingt ebenfalls seltsam,wie kann ich das anders sagen,also,dass mit dem Y-Wert,weil ich glaube,dass sagt man eigentlich nicht so. )

12*1,023^t=10 |/12
1,023^t =0,83
t*ln1,023 =ln0,83
t =ln0,83/ln1,023
t =-8

Probe:
10=12*1,023^-8
10=10

Vor 8 Jahren hatte das Land 10 Millionen Einwohner.

12*1,023^t=40 |/12
1,023^t =10/3
t*ln1,023 =ln10/3
t =ln10/3/ln1,023
t =52,95
t ≈53

Probe:
40=12*1,023^53
40=40

In 53 Jahren hat das Land 40 Millionen Einwohner.

d)

Also hier habe ich 2 Versionen,eine,die ich mir quasi „erdacht“ habe und eine,wo ich die Formel aus dem Buch,die ich gerade entdeckt habe,genutzt habe. (Die aus dem Buch ist besser oder?)

Von mir „erdacht“:

Hier muss man statt t T einsetzen und ansonsten einfach nur die doppelte Einwohnerzahl (also hier 24) für den Y-Wert (wieder diese seltsame Formulierung ) einsetzen.

12*1,023^T=24 |/12
1,023^T =2
T*ln,1023 =ln2
T =ln2/ln1,023
T =30,48
T ≈30,5

Probe:
24=12*1,023^30,5
24=24

In rund 30 Jahren und 6 Monaten wird sich die Einwohnerzahl verdoppelt haben.

Mittels Formel aus dem Buch:

f(x)=c*a^x mit c>0,a>1

Dann gilt für die Verdopplungszeit T:

T=ln2/lna (Muss ich hier noch angeben,wie man darauf kommt oder reicht es zu,einfach zu sagen,dass das bei einem experimentellen Wachstumsprozess imm der Fall ist?)

Wenn man von der Formel aus a) ausgeht ergibt sich Folgendes:

T=ln2/ln1,023

T=30,48
T≈30,5

In rund 30 Jahren und 6 Monaten wird sich die Einwohnerzahl verdoppelt haben.

(Der einzige Unterschied ist ja,dass ich in meiner Variante mit 24 gerechnet habe….aber es ist trotzdem besser,anstatt meine Version,die mittels der Formel anzugeben,oder?)

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