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Thema:

Lineare Gleichungssysteme!!

(473x gelesen)

Seiten: 1 2

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Beitrag von whole_she...

13.02.2006 23:41:04

whole_she...

whole_shebang hat kein Profilbild...

als ich mein, man kann den gauss ja auch noch mit verschiedenen zusatzverfahren lösen, z.b. partielle oder totalle pivotwahl

zudem gibt es noch das austauschverfahren, die LR- und QR-Zerlegung und noch das Einzel- und Gesamtschrittverfahren...gibt noch einiger mehr, aber keine Lust jetzt alle aufzuzählen...

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Beitrag von DFB.Zetor

13.02.2006 23:46:22

DFB.Zetor

DFB.Zetor hat kein Profilbild...

Themenstarter
DFB.Zetor hat das Thema eröffnet...

waere aber recht hilfreich wenn du mal alle verfahren auflisten koenntest! bin dir schon im vorraus dankbar dafuer

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Beitrag von daveman

13.02.2006 23:48:21

daveman

Profilbild von daveman ...

diesem Kapitel befassen wir uns mit der Aufgabe, die linearen Gleichungssysteme, welche man aus der diskretisierten Differentialgleichung erhält, unter Berücksichtigung ihrer speziellen Struktur möglichst effizient zu lösen. Diese Gleichungssysteme haben besondere Eigenschaften: Die Koeffizientenmatrizen sind meist sehr groß, aber einfach strukturiert. Sie sind `schwach besetzt', die von Null verschiedenen Elemente treten in regelmäßiger `bandartiger' Weise in bestimmten charakteristischen Größenverhältnissen auf. Um einen ersten Eindruck zu vermitteln, wollen wir im folgenden zunächst den Prototyp einer elliptischen Differentialgleichung 2. Ordnung, die sogenannte Poissongleichung betrachten.

(5.1)


Der Einfachheit halber beschränken wir uns auf ein quadratisches Integrationsgebiet S und Dirichletsche Randbedingungen. Gesucht ist die Lösung u(x,y), welche im Gebiet S die PDG (C-1) erfüllt und auf dem Gebietsrand C die vorgegebenen Werte

u = g(x,y)

annimmt. Zur Diskretisierung der Randwertaufgabe legen wir ein quadratisches Rechengitter der Schrittweite h zugrunde. Die Anzahl N der Unbekannten verhält sich dann wie , was bei einer Unterteilung von ca. N = 65.000 Unbekannte ergibt. Die Gestalt der Koeffizienten-Matrix hängt von dem gewählten Differenzenquotienten für ab. Wählt man zur Approximation der zweiten partiellen Ableitung jeweils den zentralen Differenzenquotienten (2.12), so ergibt sich das folgende Gleichungssystem
ui-1,j + ui+1,j + ui,j-1 + ui,j+1 - 4ui,j = h2 fi,j
(5.2)


oder mit h2 fi,j = ri,j auf der rechten Seite das System, das im folgenden abgedruckt ist.

Auf dieses Gleichungssystem läßt sich jedes Verfahren zur Lösung linearer Probleme anwenden. Die Effizienzunterschiede sind jedoch beträchtlich. So führt z.B. die Cramersche Regel auf ein 10204.000 Jahre währendes Geduldspiel, wohingegen moderne Verfahren bereits nach ca. 8 Sekunden zu einer Lösung gelangen. Entscheidend für die Effizienz eines Verfahrens ist der zu bewältigende Rechenaufwand, also die Anzahl der arithmetischen Operationen zur Bestimmung der Lösung. Einen ersten vergleichenden Überblick kann man sich anhand der Tabelle 7 verschaffen, die sich auf das oben skizzierte Problem bezieht.

Grundsätzlich wird zwischen direkten Lösungsmethoden, welche auf der sukzessiven Elimination der Unbekannten basieren, und iterativen Prozessen, die die gesuchte Lösung als Folge von Näherungen bestimmen, unterschieden. Der bekannteste Vertreter, der hier nicht näher diskutierten direkten Methode, ist das herkömmliche Gaußsche Eliminationsverfahren. Daneben seien das Cholesky-Verfahren zur Dreieckszerlegung symmetrisch positiver Bandmatrizen, der Thomas-Algorithmus usw. in Erinnerung gerufen.






Verfahren asymptotischer ungefähre Rechenzeit
Rechenaufwand
Gauß-Verfahren für Bandmatrizen &quad;- N2 ca. 20.000 sec (geschätzt)
Gauß-Seidel*) &quad;- N2 ca. 10.000 sec (geschätzt)
SOR*) &quad;- N1,5 ca. 1.200 sec
ADI*) &quad;- N logN ca. 130 sec
Mehrgitterverfahren &quad;- N ca. 8 sec
Tabelle 7: Rechenzeiten für die diskretisierte Poisson-Gleichung im Einheitsquadrat (1/h = 1/256), das heißt, N = 2552 = 65025 Unbekannte); für die iterativen Verfahren*) wurde eine feste relative Genauigkeit von - 104 zugrunde gelegt.


Die direkten Lösungsmethoden erfordern die Speicherung der gesamten Koeffizientenmatrix, wodurch es leicht zur Erschöpfung des zur Verfügung stehenden Arbeitsspeichervolumens kommen kann. Die Rechenzeit wird in der Folge zu einem nicht unerheblichen Teil für die Datenkommunikation mit Hilfsspeichermedien verbraucht, weshalb sich die Lösung vor allem bei niedriger Übertragungsgeschwindigkeit erheblich verzögern kann. Mittlerweile existieren jedoch Algorithmen, die solchen Nachteilen durch sukzessive Zusammensetzung der linearen Gleichungssysteme in Verbindung mit gleichzeitiger Elimination begegnen (sog. Frontlösungsmethoden). Daneben zeichnen sich die direkten Verfahren durch die unangenehme Eigenschaft aus, die numerischen Störungen der exakten Lösung (z.B. Rundungsfehler) zu akkumulieren. Den entscheidenden Parameter zur Bestimmung der Empfindlichkeit gegenüber Störungen stellt die Konditionszahl einer Matrix (also das Produkt nach beliebiger Norm) dar, für die man folgende `Faustregel' findet:

`Wird ein lineares Gleichungssystem mit n-stelliger dezimaler Gleitkommarechnung gelöst, und beträgt die Konditionszahl der Koeffizientenmatrix = ca. 10m, so sind aufgrund der im allgemeinen unvermeidlichen Eingangsfehler nur (n - m -1) Dezimalstellen der auf die betragsmäßig größte Komponente bezogene Lösung sicher.'
Zur Senkung der Konditionszahl verfügt die Numerik über möglicherweise Abhilfe verschaffende Methoden, wie Equilibrieren, Pivotisieren, Vorkonditionieren, usw.
Im allgemeinen sind direkte Methoden wirkungsvoller als iterative Methoden, sobald

a)
die Koeffizentenmatrix für eine schnelle Abschätzung des optimalen Relaxationsfaktors zu umfangreich ist;
b)
die Matrix fast singulär ist, so daß kleine Reste keine kleinen Fehler in die Lösung implizieren, wie später in diesem Kapitel gezeigt wird;
c)
verschiedene Gleichungssysteme mit denselben Koeffizienten, aber mit verschiedenen rechten Seiten gelöst werden müssen.


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Beitrag von whole_she...

13.02.2006 23:49:52

whole_she...

whole_shebang hat kein Profilbild...

so spontan fallen mir nicht viele ein...was willst den mit denen??
ich mein, versteh das net falsch, aber beschäftige dich erstmal mit denen...givens-verfahren oder sowas geht dann definitv noch mehr ab...
also, ist nicht böse oder arrogant oder so gemeint...

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Beitrag von DFB.Zetor

13.02.2006 23:54:17

DFB.Zetor

DFB.Zetor hat kein Profilbild...

Themenstarter
DFB.Zetor hat das Thema eröffnet...

also ich sitze hier mit einem skript über 2 Vorlesungen lineare algebra, die ich ebenfalls besucht habe. das das gaußverfahren kinderkram ist weiss ich auch, allerdings ist das Cholesky verfahren eine recht schwierige angelegenheit(zumindest fuer mich)und mich interessiert jetzt nur welche verfahren es sonst noch gibt etc, damit ich diese in meiner arbeit erwaehnen und kurz darauf eingehen kann.

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Beitrag von daveman

13.02.2006 23:54:50

daveman

Profilbild von daveman ...

http://www.explorermagazin.de/gps/gpsles.htm

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Beitrag von whole_she...

13.02.2006 23:57:29

whole_she...

whole_shebang hat kein Profilbild...

nur gleichungssysteme oder auch matritzen mit eigenvektoren und eigenräumen etc.??
bzw. othogonalen basen?

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Beitrag von DFB.Zetor

14.02.2006 00:14:17

DFB.Zetor

DFB.Zetor hat kein Profilbild...

Themenstarter
DFB.Zetor hat das Thema eröffnet...

ja ohne matrizen kannst du das Cholesky verfahrne nicht anwenden und ich denke vektorrechnung etc. sind wohl die wichtigsten basics die aber auch jeder draufhaben sollte.

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Beitrag von whole_she...

14.02.2006 00:31:42

whole_she...

whole_shebang hat kein Profilbild...

ok, schreib mir dann mal genauer, was du alles brauchst, ich kann dir meintwegen auch definitionen etc aufschrieben, meine email steht in meinem profil oder sonst halt hier per message oder sonst wie...

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