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Thema:

integralrechnung

(484x gelesen)

Seiten: 1 2

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Beitrag von Jsternchen

04.01.2006 16:05:42

Jsternchen

Jsternchen hat kein Profilbild...

Themenstarter
Jsternchen hat das Thema eröffnet...

hey leute..
brauch mal wieder hilfe in mathe :(

kann mir jemand erklären wir man diese aufgaben lösen kann?! am besten jeden schritt erklären


der Tangente in P und der x-Achse begrenzt wird:
f(x) 1/2 x^2 P(3/ 4,5)

2)1) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von der f, der Normalen in P und der x-Achse begrenzt wird:
f(x)= -x^2 P(1/-1)

Wär super wenn mir jemand helfwen könnte!!

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Beitrag von XXsmileXX

04.01.2006 16:10:53

XXsmileXX

XXsmileXX hat kein Profilbild...

wenn ich mich recht erinnere musst du die schnittpunkte mit der tangente und der x-achse an der integralfunktion als grenzen nehmen...in den integral wo du diese einsetzt musst du die aufleitung von f(x) machen....

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Beitrag von pitililu

04.01.2006 16:14:17

pitililu

pitililu hat kein Profilbild...

ich kapiers grad net was du jezz eigtl genau willst

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Beitrag von janssenudo

04.01.2006 17:44:45

janssenudo

Profilbild von janssenudo ...

ad 1)

Die allgemeine Geradengleichung
lautet:

g(x) = m x + c

Dabei ist m die Steigung
und c der Wert an dem die
Gerade die y-Achse schneidet.

Die Steigung m der Tangente
ist im Punkt P(3|4,5) gleich
der Steigung der Funktion f(x)

Als berechnen wir zunächst die
Steigung der Funktion in P.
Diese ist gleich dem Wert der
ersten Ableitung f'(x) in P.

f'(x) = x
also ist die Steigung an der
Stelle 3 gleich f'(3) = 3

Das sagt also aus, dass die
Tangente um 3 Einheiten ansteigt,
wenn man sich um eine Einheit
nach rechts bewegt.
Bewegen wir uns um eine Einheit
nach links, so sinkt der Wert um
drei Einheiten.
(Steigungsderieck)

Bewegen wir uns vom Punkt
P(3|4,5) um drei Einheiten
nach links, (also zur y-Achse)
so muss Tangentenwertum
3*3 = 9 Einheiten von 4,5 auf
-4,5 sinken. Die Tangentengleichung
lautet also:

g(x) = 3x - 4,5


Mache dir am besten jetzt erst einmal
eine Zeichnung von g und f

Um die gesuchte Fläche zu berechnen
Brauchst du die Nullstelle von g(x)
also g(x) = 3x - 9/2 = 0 <=> x = 3/2

Die Fläche ergibt sich dann aus dem
Wert der Stammfunktion F(x) von f(x)
in den Grenzen [0 | 3] abzüglich dem
Wert der Stammfunktion G(X) von g(x)
in den Grenzen [3/2 | 3]

Bestimmen wir nun die Stammfunktionen:
F(X) = 1/6 x³ + C
G(X) = 3/2 x² - 9/2 x + C

Die Lösung bekommst du nun durch Einsetzten
der Oberen under Unterern Grenzen:

F(3) - F(0) - (G(3) - G(3/2))

F(3) = 27/6 + C = 9/2 + C
F(0) = C
G(3) = 27/2 - 27/2 + C = C
G(3/2) = 27/8 - 27/4 + C =-27/8 + C

Somit ist der Wert der gesuchten Fläche:
F(3) - F(0) - (G(3) - G(3/2))
= 9/2 + C - C - (C - (C - 27/8))
= 9/2 - (C - C + 27/8)
= 9/2 - 27/8
= 36/8 - 27/8
= 9/8

Viel Spaß bei Teil 2 ...
(geht fast genauso)

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Beitrag von TrainMan.exe

04.01.2006 17:50:41

TrainMan.exe

Profilbild von TrainMan.exe ...

das von janssenudo sieht doch schonmal gut aus... aber hab grad keine lust nochmal alles nachzurechnen, sind ja immerhin noch ferien... hier zumindest

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Beitrag von acs_phoenix

05.01.2006 11:27:08

acs_phoenix

Profilbild von acs_phoenix ...

@janssenudo: Nachgerechnet habe ich es nicht (ist ja auch völlig egal, was da als Ergebnis rauskommt), was ich nicht ganz verstehe ist, wieso du Integrationskonstanten bei dem bestimmten Integral dabei hast bzw. wie man darauf kommt, dass beide Integrationskonstanten der Stammfunktionen gleich sind.

Also ich würds genauso vorschlagen, aber ohne der Konstanten in der Rechnung.

p.s.: sry wegen kleinkariertheit

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Beitrag von janssenudo

05.01.2006 13:54:08

janssenudo

Profilbild von janssenudo ...

Es stellt sich also die Frage wie die
Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x)
und die Flächenfunktion A(x), die die
Fläche unterhalb der Funktion f(x) sagen
wir im Intervall [a|b] bestimmt, zusammen
hängen.

Nehmen wir das gegebene Beispiel
f(x) = 1/2x²

Dann ist die Stammfunktion
F(X) = 1/6 x³ + C

Es lässt sich zeigen, dass sich die
Flächenfunktion A(x) durch die Konstante
C von der Stammfunktion F(x) unterscheidet,
so gilt also:
A(x) = F(x) - C

Die Flächenfunktion A(x) liefert
für die Untere Grenze a den Wert 0.
Aus A(a) = 0 und A(a) = F(a) - C
folgt entsprechend C = F(a)

Ausgehend von dem bestimmten
Intervall [a|b] ist der Wert A(b)
Der Flächenfunktion gesucht.
A(b) = F(b) - C
Natürlich handelt es sich hierbei
um das gleiche C, es ist ja auch
die gleiche Stammfunktion
setzen wir C = F(a) ein erhalten
wir:
A(b) = F(b) - F(a)

Letztendlich spielt die Konstante C
bei der Berechnung der Fläche keine
Rolle, da sie immer heraus fällt und
viele verzichten bei der Flächenberechnung
deshalb ganz darauf sie anzugeben.

Nun möchte ich den Fehler in der obigen
Rechnung korrigieren, da es sich in
der Tat um zwei verschiedene Stammfunktionen
und entsprechend auch um zwei verschiede
Konstanten handelt:


F(X) = 1/6 x³ + K
G(X) = 3/2 x² - 9/2 x + L

Natürlich ändert das nichts an dem
Ergebnis:

F(3) = 27/6 + C = 9/2 + K
F(0) = K
G(3) = 27/2 - 27/2 + L = L
G(3/2) = 27/8 - 27/4 + L =-27/8 + L


F(3) - F(0) - (G(3) - G(3/2))
= 9/2 + K - K - (L - (L - 27/8))
= 9/2 - (L - L + 27/8)
= 9/2 - 27/8
= 36/8 - 27/8
= 9/8


DANKE FÜR DEN HINWEIS !!!

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Beitrag von zucker148

05.01.2006 14:03:46

zucker148

Profilbild von zucker148 ...

bin froh des ich mich erst nächste woche damit auseinander setzn muss ^^

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Beitrag von Jsternchen

05.01.2006 17:05:06

Jsternchen

Jsternchen hat kein Profilbild...

Themenstarter
Jsternchen hat das Thema eröffnet...

danke für eure antworten, hat mir sehr geholfen!!
aber zu der 2. aufgabe, weiß nicht mehr genau wie man die normalengleichung ausrechnet, wär super wenn mir das jemand noch schreiben könnte,brauche auch nicht den gesamten rechenweg..

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Beitrag von Jsternchen

05.01.2006 17:08:46

Jsternchen

Jsternchen hat kein Profilbild...

Themenstarter
Jsternchen hat das Thema eröffnet...

stimmt das:
n(x)= - (1/m)x+b??

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Beitrag von ceytothebe

05.01.2006 17:10:58

ceytothebe

Profilbild von ceytothebe ...

bin froh, dass ich die klausur hinter mir habe

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