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INDUKTION

(405x gelesen)

Seiten: 1

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Beitrag von ceytothebe

22.10.2008 19:51:51

ceytothebe

Profilbild von ceytothebe ...

Themenstarter
ceytothebe hat das Thema eröffnet...

hallo leute ich hab mal eine frage..

unzwar soll ich beweisen das 1*1! + 2*2! + 3*3! +.......+n*n!=(n+1)!-1 gilt.

dabei ist wohl 1!=1 2!=2 3!=6 4!=24 also N! steht für das produkt der ersten natürlichen zahlen

und ich soll dass jetzt mit dieser vollständigen Induktion beweisen mit induktionsanfang und dem kram

KANN mir jeeeeemand helfen..ich blick da grad nicht durch wär echt dankbar

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Beitrag von janssenudo

23.10.2008 12:29:08

janssenudo

Profilbild von janssenudo ...

1. Induktionsbehauptung:
1*1!+2*2!+3*3!+...+[n-1]*[n-1]!+n*n! = [n+1]!-1

2. Induktionsverankerung:
Wir zeigen, dass die Behauptung für n = 1 gilt:
1*1! = 1
[1+1]!-1 = 2!-1 = 2-1 = 1

3. Induktionsvoraussetzung:
Man nimmt an, dass die Behauptung für n-1 bereits
gelte, und zeigt, dass unter dieser Voraussetzung
die Behauptung dann auch für n wahr sein muss.
Es gelte also:
[1*1!+2*2!+3*3!+...+[n-1]*[n-1]!
= [[n-1]+1]!-1
= n!-1

4. Induktionsschritt:
Nun versuchen wir, aus der linken Seite der
Induktionsbehauptung, mit Hilfe der
Induktionsvoraussetzung, die rechte Seite
der Behauptung zu entwickeln.
1*1!+2*2!+3*3!+...+[n-1]*[n-1]!+n*n!
= [1*1!+2*2!+3*3!+...+[n-1]*[n-1]!]+n*n!
Nach Induktionsvoraussetzung gilt nun:
= [n!-1]+n*n!
= n!-1+n*n!
= n*n+n!-1
= n!*[n+1]-1
= [n+1]!-1
Damit ist der Beweis erbracht.

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