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Thema:

HILFE! Extremwertaufgaben - Mathe

(415x gelesen)

Seiten: 1

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Beitrag von BKI4

10.08.2008 11:18:45

BKI4

BKI4 hat kein Profilbild...

Themenstarter
BKI4 hat das Thema eröffnet...

Hallo,

ich stehe ganz am Anfang bei den Extremwertaufgaben...muss mir das ganze selbst erarbeiten und komme einfach nicht weiter.
Hier die Aufgabe:

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit c=8, h=12 und ein Punkt F auf c.
Eine Parallele zu c schneidet b in D und a in E.
Berechnen Sie den Abstand der Parallele zu c, so dass
der Flächeninhalt des Dreiecks DEF maximal ist.

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Beitrag von crazyomatic

10.08.2008 11:22:54

crazyomatic

Profilbild von crazyomatic ...

es sind ferien!! haha...aber sorry,kann ich net mehr! brauch man auch nicht in er zukunft

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Beitrag von BKI4

10.08.2008 11:24:08

BKI4

BKI4 hat kein Profilbild...

Themenstarter
BKI4 hat das Thema eröffnet...

Für Jemanden der sein Abi in der Freizeit nachholt...neben dem Job gibt es keine Ferien!
Also Bitte HILFE!

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Beitrag von Tschebura...

10.08.2008 11:41:22

Tschebura...

Profilbild von Tscheburaschka ...

das letzte mal dass ich eine extremwertaufgabe gemacht hab war zum matheabi im mai..und das möcht auch bitte so bleiben^^

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Beitrag von crazyomatic

10.08.2008 12:27:01

crazyomatic

Profilbild von crazyomatic ...

she ich genauso...hab meine alten unterlagen auch leider nicht mehr zur hand!
...sorry

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Beitrag von SteffiMGN

10.08.2008 12:39:10

SteffiMGN

Profilbild von SteffiMGN ...

neben un hauptbedingung aufstellen

hauptbedingung ist der flächeninhalt
da suchst mal eben diese formel ausm tw

nebenbedingung is strahlensatz, wenn ich mich nicht irre

hast du ne skizze?

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Beitrag von K_me_Katze

12.08.2008 13:41:41

K_me_Katze

Profilbild von K_me_Katze ...

also erstmal ne Skizze machen... wichtig, damit man sich das auch vorstellen kann:

Wo der Punkt F liegt, ist völlig uninteressant, weil die Formel für die Fläche eines Dreiecks nur über die Höhe (h) und die Grundseite c (da wo die Fs drauf liegen) definiert ist.
A = h * c/2 (bzw für Unseren gesuchten Extremwert A1 nenne ich die Größen mal h1 und c1, wobei c1 die Länge der Strecke DE ist und h1 der Abstand der Parallelen zur Grundseite c)
Jetzt müssen wir also raus finden, wie groß der Abstand zwischen den Punkten D und E in Abhängigkeit zu der Höhe h1 ist.
Das geht (z.B.) über den Strahlensatz:
h/c=(h-h1)/c1 (-> Werte einsetzen)
-> 12/8=(12-h1)/c1
nach c1 auflösen |*c1 |:12/8
c1=8-2/3*h1

(alternativ kann man sich auch vorstellen, bei h1=0 ist die Strecke c1=c=8 und bei h1=12 -> da ist die Parallele durch die Spitze des Dreiecks und c1 damit 0
damit hat man
2 Punkte einer Geraden, mit Hilfe derer man auf die obige Formel kommt, wenn man mit f(x) = m*x +b erst m und dann b ausrechnet)

Wir haben jetzt also "c1 in Abhängigkeit von h1" und wir haben die Formel der Fläche des Dreiecks, das Maximal werden soll. Jetzt muss man die c1 in der Flächenformel einsetzen:
A1 = h1 * c1/2
A1 = h1 * ( 8 - 2/3 * h1 )/2
ausmultiplizieren:
A1 = 4 * h1 - 2/6 *h1²
Damit hat man eine schöne quadratische Funktion, mit nach unten geöffneter Parabel (negatives a vor dem Quadrat), die damit auch einen Extremwert hat. Jetzt muss man nur noch prüfen, ob dieser Extremwert in unserem Wertebereich - zwischen h1=0 und h1=12 liegt und wenn ja, wo genau.

Um Extremwerte zu bestimmen muss man die Formel ableiten:
A1'(h1)= 4 - 2/3 * h1
dann Null setzen und nach h auflösen
h1 = 6
damit hast Du die Höhe h1 und damit den Abstand der parallele zur Grundseite c raus, bei dem das entstehende Dreieck DEF den größtmöglichen Flächeninhalt hat.

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