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Extremwertaufgaben

(381x gelesen)

Seiten: 1

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Beitrag von NeonT

30.08.2006 18:26:08

NeonT

NeonT hat kein Profilbild...

Themenstarter
NeonT hat das Thema eröffnet...

Hi,
wie kann man herausbekommen wann das Volumen einer quardratischen Säule mit einer Oberfläche von 150cm2 am größten ist. Die Formel für das Volumen und der Oberfläche kenne ich.

Vielen Dank für eure Antworten

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Beitrag von K_me_Katze

30.08.2006 18:35:37

K_me_Katze

Profilbild von K_me_Katze ...

es sollte ein Würfel herauskommen ca 5,3cm Seitenlänge


ich überleg grade die herleitugn... könnte einen Moment dauern, bin etwas eingerostet ^^

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Beitrag von K_me_Katze

30.08.2006 18:36:55

K_me_Katze

Profilbild von K_me_Katze ...

sorry, 5cm Seitenlänge

das optimale Volumen eines Quaders ist ein Würfel

150cm² durch 6 Seiten und daraus die Wurzel (Seitenlänge)

sind 5cm


Herleitung überleg ich immernoch ^^

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Beitrag von NeonT

30.08.2006 18:52:19

NeonT

NeonT hat kein Profilbild...

Themenstarter
NeonT hat das Thema eröffnet...

Danke schonmal! Aber ich muss dies auch beweisen können. Kann dies etwas mit Funktionen/ Parabeln zu tun haben? Melde dich bitte, wenns dir einfällt! Danke!

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Beitrag von Kaetti

30.08.2006 19:04:59

Kaetti

Profilbild von Kaetti ...

hey.. also die extremalbedingung: V=a^2*h maximieren
nebenbedingung: O=2a^2+4ah, dann umformen: 75cm-2ah=a^2
dann ist die zielfunktion: V(h)=(75cm-2ah)*h, dann auch wieder soweit wie möglich umformen: V(h)=75h-2ah^2, du musst dann a wie eine konstanze behandeln.. joar und dann eben so weiter...

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Beitrag von K_me_Katze

30.08.2006 19:10:20

K_me_Katze

Profilbild von K_me_Katze ...

ok, ich hab überlesen, daß die grundfläche quadratisch ist, also hat man nur noch 2 Variablen
a*a*b=V
2*a*a+4a*b(=A)=150cm²
eine von beiden gleichungen nach a oder b auflösen (es bietet sich an, Gleichung A nach a*b aufzulösen) und in die andere einsetzen:
2*a*a+4a*b=150 |-2a²
4a*b=150-2a² |/4
a*b=-0,5a²+37,5 in die erste eingesetzt steht da
V=f(x)=a*(-0,5a²+37,5)
f(x)=-0,5a³+37,5a => das ist die Volumenfunktion für die wir jetzt den maximalwert brauchen, also muss man die nach a ableiten und NULL setzen und nach a auflösen, dann weißt Du wie groß a sein muss, damit V=max wird (dadurch daß b rausfällt und durch a glatt ersetzt werden kann gilt b=a siehe Logik des ersten Posts)
f'(x)= -1,5a²+37,5 = 0 |-37,5 |/(-1,5)
=> a²=25 |sqrt
a=5 => die nullstelle der Ableitung liegt bei a=5 also hat die Ursprungsfunktion (die Volumenfunktion) da ein Minimum oder Maximum (Extremwert)
Wenn man jetzt die Nullstelle in die 3. ableitung einsetzt, ist der Wert negativ, was bedeutet, daß an der Stelle 5 (a=5) tatsächlich ein Maximum vorliegt

ich hoffe das reicht als erklärung

gruß ich

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Beitrag von K_me_Katze

30.08.2006 19:15:44

K_me_Katze

Profilbild von K_me_Katze ...

Sorry, muss natürlich heißen:
[...]Wenn man jetzt die Nullstelle in die 2. Ableitung einsetzt, [...]

die is übrigens dann:
f" x)=-3a²
f" 5)=-15<0

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Beitrag von ZeusTheCr...

30.08.2006 19:24:00

ZeusTheCr...

Profilbild von ZeusTheCreator ...

soweit korrekt, hier no ma sauber geschrieben mit zwischenschritten.

sry für späte antwort, ich hab noch abendbrot gegessen.
für die lösung benötigst du 2 formeln,
erstmal musst du die oberfläche darstellen und
dann noch das volumen.

die säule ist ein quader mit quadratischer grundfläche,
also hast du Agrund = a² * 2
(oben und unten)

dann sind die seitenflächen 4mal vorhanden
Aseite = 4 * a * h

daraus ergibt sich eine gesamtoberfläche von

AO = 4*a*h + 2*a²
wobei AO = 150cm²

das volumen ergibt sich bei prismen aus der grundfläche mal die höhe

V = a² * h

nun musst du eine der beiden variablen in der volumenformel eleminieren,
dafür musst du die AO-Formel umformen.

AO = 4*a*h + 2*a² = 150cm²
(minus 2a² ; durch 4a )

h = ( 150cm² - 2a² ) / 4a

einsetzen in V = a² * h

V = a² * ( 150cm² - 2a² ) / 4a

V = - 1/2 * a³ + 37,5 * a

Ableitung bilden
-----------------

v'(a) = - 3/2 * a² + 37,5

v''(a) = - 3 * a

Extrema bestimmen
------------------

v'(a) = 0 = - 3/2 * a² + 37,5
0 = -a² + 25

a(1|2) = +- 5

Nachweis Maxima mit v''(a)

-> a = 5

Nun noch einsetzen in

h = ( 150cm² - 2a² ) / 4a

-> h = 5


also ist das volumen maximal, wenn alle seiten 5cm betragen


Such-f(x) bei ph.de ??? Is nich...

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Beitrag von NeonT

30.08.2006 20:25:09

NeonT

NeonT hat kein Profilbild...

Themenstarter
NeonT hat das Thema eröffnet...

1000 Dank für eure Antworten!
Hat ein Würfel das größte Volumen, weil er der Kugel am nächsten kommt?

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