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Thema:

Extremalberechnung

(509x gelesen)

Seiten: 1

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Beitrag von Bluerider

24.04.2006 21:56:02

Bluerider

Bluerider hat kein Profilbild...

Themenstarter
Bluerider hat das Thema eröffnet...

Hallo,....
kann mir eventuell jemand bei dieser Aufgabe helfen:
Gegeben ist ein Gerade mit der Gleichung y=ax-a² mit 0<a<6. Die Gerade begrenzt mit der x-Achse und der Geraden x=6 ein Dreieck. Für welches a hat das Dreieck den größten Inhalt?

DANKE

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Beitrag von AntiSweety

24.04.2006 21:58:53

AntiSweety

Profilbild von AntiSweety ...

bäh

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Beitrag von rotessofa

24.04.2006 22:02:02

rotessofa

Profilbild von rotessofa ...

schließ ich mich antisweety voll und ganz an..

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Beitrag von -PiXie-

24.04.2006 22:05:33

-PiXie-

Profilbild von -PiXie- ...

ich hab heute schon ne matheklausur verhaun. das tu ich mir jetzt nich an..-.-

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Beitrag von lennnny

24.04.2006 22:16:40

lennnny

lennnny hat kein Profilbild...

also, da f(a)=0 (erschließt sich aus der funktion) ist die eine seite des dreiecks 6-a lang, die andere ist der schnittpunkt von x=6 und f(x), also f(6).
die dreiecksfläche ist also: 1/2((6-a)*(6a-a² )
. jetzt nurnoch das maximum dieser funktion berechnen. als ergebnis ergibt sich für die größtmögliche dreiecksfläche a=2 (flächeninhalt A=16)
hoffe geholfen zu haben

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Beitrag von ZeusTheCr...

25.04.2006 00:05:53

ZeusTheCr...

Profilbild von ZeusTheCreator ...

hier gibt es mehrere lösungswege.

jedenfalls hast du deine ausgangsfunktion
y = ax - a²
mit 0<a<6



diese begrenzt mit der geraden x=6 und der x-Achse eine dreiecksfläche (die logischer weise rechtwinklig ist).

Nun brauchst du die Nullstelle und den Schnittpunkt mit der Geraden x=6.

Nst:

0 = ax - a²
0 = a(x-a)

0=a und x=a

Schnittpunkt:

y = a*6 - a²
y = 6a - a²


Eine rechtwinklige Dreiecksfläche berechnet sich mit
A= a*b / 2

hier haben wir seite a mit 6-a (Gerade x=6 minus nullstelle a) und b mit 6a-a² (höhe von der x-achse aus)

A = (6-a)*(6a-a^2)/2

A = (36a - 6a^2 - 6a^2 + a^3) / 2

A = (a^3)/3 - 6a^2 + 18a

da du nun das minimum suchst musste ableiten
(zum nachweis 2te ableitung notwendig, ich verzichte darauf)

A'(a) = (3/2)*a^2 - 12a + 18

A'=0

a = 6 (entfällt, da a nicht kleiner als 6 ist -> siehe definition)

a = 2
-------------


so, ein anderer weg geht über die integration.

du suchst die fläche von nullstelle a bis stelle 6 unter dem graphen.

A = Int(von a bis 6) [ax - a² dx]

A = (a/2)*x² - a²x [in den grenzen von a bis 6]

A = (18a - 6a^2) - ( (a^3)/2 - a^3)

A = (1/2)*a^3 + 18a - 6a^2

A'(a) = (3/2)*a^2 - 12a + 18

A'=0

a = 6 (entfällt, da a nicht kleiner als 6 ist -> siehe definition)

a = 2
-------------

Such-f(x) bei ph.de??? Is nich...


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Beitrag von ZeusTheCr...

25.04.2006 00:08:14

ZeusTheCr...

Profilbild von ZeusTheCreator ...

sry,

du suchst natürlich das maximum.
rechnung bleibt gleich, nur den nachweis musste noch machen.

Such-f(x) bei ph.de??? Is nich...

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