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Thema:

Extremalberechnung

(1218x gelesen)

Seiten: 1

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Beitrag von Bluerider

20.04.2006 21:35:51

Bluerider

Bluerider hat kein Profilbild...

Themenstarter
Bluerider hat das Thema eröffnet...

Hallo....
kann mir von Euch vielleicht wer weiterhelfen???
Ich brauche mal nen heissen Tip, wie man diese Aufgabe löst:
Welcher Punkt P(x,y) auf der Geraden f(x)=0,25x+3,5
hat zum Punkt R(3;0)die kleinste Entfernung?

Vielen Dank!!!

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Beitrag von pitililu

20.04.2006 21:39:54

pitililu

pitililu hat kein Profilbild...

du brauchst ne gerade die deine schon bekannte im 90 grad winkel schneidet und durch den besagten punkt geht ...

der schnittpunkt dieser beiden geraden ist dann der gesuche punkt mit dem geringsten abstand

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Beitrag von Bluerider

20.04.2006 21:42:06

Bluerider

Bluerider hat kein Profilbild...

Themenstarter
Bluerider hat das Thema eröffnet...

ja, das weiss ich schon, aber wie fange ich jetzt die Extremalberechnung an???

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Beitrag von olympiade...

20.04.2006 21:43:18

olympiade...

Profilbild von olympiademensch ...

ist relativ einfach, der Punkt an welchem das Lot vom Punkt auf die Gerade liegt, also muss du nur die Funktion finden, die senkrecht zur Gerade liegt und durch den Punkt geht.
Also Anstieg: m2=-1/m1 =-4
Wir wissen also f2(x)=-4x+z und außerdem muss sie duch den Punkt (3;0) gehen also muss 0=-4*3+z sein, also z=12
Somit ist die Funktionsgleichung f2(x)=-4x+12
Jetzt noch den Schnittpunkt mit der ersten Gerade herausfinden und das ist der gesuchte Punkt...
also
0,25x+3,5=-4x+12
4,25x=8,5
x=2
einsetzen in eine der beiden Gleichungen:
-4*2+12=4
also der Punkt (2;4) ist am nächsten dran...

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Beitrag von olympiade...

20.04.2006 21:45:28

olympiade...

Profilbild von olympiademensch ...

achso, als Extremwertaufgabe ist das ein bissel komplexer.. Moment...

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Beitrag von olympiade...

20.04.2006 21:54:50

olympiade...

Profilbild von olympiademensch ...

Man kann den Abstand zwischen Gerade und Punkt (3;0) als Funktion vom x-Wert angeben und zwar a(x)=Wurzel((3-x)²+y²
also
a(x)=Wurzel(x²-6x+9+(0,25x+3,5)²
a(x)=Wurzel(x²-6x+9+0,0625x²+1,75x+12,25)
a(x)=Wurzel(1,0625x²-4,25x+21,25)

Bitte auf Fehlersuche gehen...^^ Weiß net ob sich nicht irgendwo ein kleiner Fehler eingeschlichen hat. Zur Kontrolle einfach mal die Funktion samt Punkt aufmalen und von irgendwo auf der Gerade ne GErade zum Punkt (3;0) ziehen. Dann kommt man über den Satz des Pythagoras (a²+b²=c² auf die Gleichuing oben...

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Beitrag von olympiade...

20.04.2006 21:55:50

olympiade...

Profilbild von olympiademensch ...

der dumme Smiley ist einfach immer nur Klammer zu...

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Beitrag von olympiade...

20.04.2006 21:57:01

olympiade...

Profilbild von olympiademensch ...

um nun den Punkt mit dem minimalen Abstand zu berechnen einfach ( ) die Funktion ableiten und amit also lokales Minimum bestimmen...^^

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Beitrag von -sTeVe-

20.04.2006 21:58:16

-sTeVe-

Profilbild von -sTeVe- ...

Kleiner Tip:
die Steigung der Senkrechten mit -1/m ausrechnen, und dann hast du noch denn Punkt (3,0) auf der Senkrechten, damit kannst du diese schonmal ausrechen, dann Schnittpunkt bestimmen, Vektor aufstellen, Länge des Vektors berchenen.

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Beitrag von ZeusTheCr...

21.04.2006 20:03:17

ZeusTheCr...

Profilbild von ZeusTheCreator ...

was gepostet wurde stimmt soweit scho, hier no ma de rechnung dazu...


Ausgangsfunktion

f(x) =

Abstandspunkt R(3|0)

Abstand zweier Punkte:
S = P1P2 = Wurzel[ (x2-x1)^2 + (y2-Y1)^2 ]

Punkt auf der Geraden ist ( x | f(x) ), also ist
Punkt ( x | 1/4 * x + 7/2 )

das alles mit R in S einsetzen...

S(x) = Wurzel[ (3-x)^2 + (0 - 1/4 * x - 7/2)^2 ]

S(x) = Wurzel[ 9 - 6x + x² + 1/16 * x² + 7/4 * x + 49/4 ]

S(x) = Wurzel[ 17/16 * x² - 17/4 * x + 85/4 ]

das ist dein Abstand, jetz noch die Ableitung bilden und mit 0 gleichsetzen.

(Ableitung nach Kettenregel)

z(x) = 17/16 * x² - 17/4 * x + 85/4
z'(x) = 34/16 * x - 17/4

h(z) = z^(1/2)
h'(z) = 1/(2z)

innere mal äußere Ableitung

S'(x) = 1/(2*[ 17/16 * x² - 17/4 * x + 85/4 ] ) * 34/16 * x - 17/4

zum Auflösen bin ich jetz zu faul, 2te Ableitung is aba zum Nachweis von nöten, kannste selbst machen.

0 = S'(x)

0 = 34/16 * x - 17/4

x = 2
in f(x)
y = 4

-> Punkt mit kleinsten Abstand ist
P( 2 | 4 )
----------
----------

Such-f(x) bei ph.de ??? Is nich...

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