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beweis sin 60 grad = 0.5wurzel 3

(2742x gelesen)

Seiten: 1 2

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Beitrag von pAk

23.08.2005 18:09:27

pAk

Profilbild von pAk ...

Themenstarter
pAk hat das Thema eröffnet...

hmm seh irgendwie noch nicht durch

aber trozdem erstmal danke

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Beitrag von Steini06

23.08.2005 18:11:27

Steini06

Steini06 hat kein Profilbild...

das hättest du mich vor 3 oder 4monaten fragen müssen! jetzt hab ich zuviel gesoffen! und ein teil von mathe hab ich versoffen! naja! vielleicht kommt es wieder! ich glaub des sin cos usw brauch ich in meiner lehre!
grüßle

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Beitrag von janssenudo

24.08.2005 13:13:28

janssenudo

Profilbild von janssenudo ...

Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck.
In diesem Dreieck haben alle Seiten die Seitenlänge a
und alle Winkel ein Winkelmaß von 60 Grad.

In diesem Dreieck sei eine Höhe h eingetragen,
die von einer Ecke über den Mittelpunkt
hinunter zur Seitenmitte führt.

Es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke
mit den Seitenlängen a, h, a/2
und den Winkeln 30°, 60° und 90°.

Wir betrachten den 60° Winkel
in einem dieser Dreiecke. Für ihn gilt:
sin(60) = h / a

Über Pythagoras kennen wir noch die
Beziehung der Seiten zueinander:
a² = h² + (a/2)²
<=> a² = h² + a²/4
<=> h² = a² - a²/4
<=> h² = 3/4 a²

=> h = (wurzel(3) /2) * a
(der negative Wert interessiert uns hier nicht)

Nun ersetzten wir in der Formel
sin(60) = h / a
das h durch den Term
(wurzel(3) /2) * a
und erhalten:
sin(60) = (wurzel(3) /2) * a / a

Das a lässt sich kürzen und übrig
bleibt das gewünschte Ergebnis:

sin(60) = wurzel(3) /2

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